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By Bernhard Riemann

In diesem Werk wird einer der klassischen Texte der Mathematik umfassend historisch, mathematisch, physikalisch und philosophisch von Jürgen Jost ausführlich kommentiert und die gesamte Entwicklung dieser Disziplinen eingeordnet. Neben dem Urtext wird auch der historisch wichtige Kommentarteil von Hermann Weyl wiedergegeben.

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Damit wird der euklidische Raum dann endgültig seine Sonderrolle verlieren. Nähere Einzelheiten werden unten nach der Darstellung von Riemanns Schrift präsentiert. 38 Die in einer äquivalenten Formulierung des euklidischen Parallelenaxioms geforderte Existenz von genau einer zu einer gegebenen Gerade parallelen Geraden durch einen nicht auf ersterer liegenden Punkt ist wiederum äquivalent dazu, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck genau 180 Grad beträgt. Dieses Postulat nahm offensichtlich eine Sonderstellung im Rahmen des euklidischen Werkes ein, und es stellte sich daher die Frage, ob dies nicht aus den anderen Axiomen und Postulaten abgeleitet werden könne, also nicht von diesen unabhängig wäre.

34 32 Alexandre Koyré, Etudes galiléennes, Paris, Hermann, 1966, versucht deshalb, Galilei die Erkenntnis des Trägheitsgesetzes abzusprechen, auch wenn dieses Gesetz in den von ihm zitierten Stellen bei Galilei und seinen Nachfolgern Cavalieri (1598–1647) und Torricelli (1608–1647) und bei Gassendi (1592–1655) mehrfach implizit vorausgesetzt und auch explizit ausgesprochen wird. Er hat dies eben, im Gegensatz zu Newton, nur nicht zur Grundlage seiner physikalischen Theorie gemacht, weil er eine Bewegung ohne Gravitation, also ohne den Einfluss anderer Körper als unphysikalisch angesehen hat.

Sofern nicht alle Normalenschnitte die gleiche Krümmung haben, sind diese beiden Schnittkurven mit extremaler Krümmung eindeutig festgelegt und schneiden einander in einem rechten Winkel. 44 Für eine moderne Darstellung s. beispielsweise J. Eschenburg, J. Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen, Heidelberg, Berlin,  2007 26 2 Historische Einführung wirkliche Tragweite wird erst durch Riemann klar (obwohl dieser die nichteuklidische Geometrie überhaupt nicht rezipiert hatte). 5 Die Entstehung von Riemanns Habilitationsvortrag Riemann hatte sich zwar neben seinen eigentlichen mathematischen Forschungen viel mit naturphilosophischen Spekulationen beschäftigt und dabei in vieler Hinsicht Mathematik, Physik und Naturphilosophie durchaus als Einheit aufgefasst,45 aber dass die Schrift, die hier vorgestellt wird, überhaupt zustande kam, verdankt sich vielleicht doch eher einem Zufall.

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